공통근은 2개의 방정식을 동시에 충족시키는 근을 말합니다. 2 개의 2 차 방정식이 공통 근을 가질 때 문제의 해결법을 설명합니다.
1. 2 개의 방정식의 근을 모두 구할 수 있는 경우
근을 모두 구해 비교하여 구합니다.
2. 방정식을 모두 구하지 않는 경우 경우
공통근의 성질을 이용하여 구합니다.
2 개의 방정식의 공통근을 구하는 방법 - 모두 구할 경우
예를 들어, 아래 두개의 방정식
( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 - 3 ) = 0 근 𝑥 = - 1,3
( 𝑥 - 2 ) ( 𝑥 - 3 ) = 0 근 𝑥 = 2,3
의 경우, 𝑥 = 3 이 두 방정식의 공통근입니다.
2 개의 방정식의 공통근을 구하는 방법 - 성질을 이용하기
위와 같이 방정식의 근를 모두 구하지 않아도 되는 성질이 공통근에는 있습니다.
[공통근의 성질]
𝑓( 𝑥 ) = 0, 𝑔 ( 𝑥 ) = 0 이 공통근 α 를 가질 때,
𝑥 = α 은 𝑚 𝑓( 𝑥 ) + 𝑛 𝑔 ( 𝑥 ) = 0 의 해이기도하다.
어렵게 생각하지 않아도 됩니다. 연합할 수 있다라는 의미일 뿐이니, 예제로 살펴 보도록 하겠습니다.
예제 1
2 개의 2 차 방정식
𝑥2+ 𝑎 𝑥 + 5 = 0
𝑥2+ 𝑥 + 5 𝑎 = 0
이 실수인 공통근을 공유할 때, 실수 𝑎 값과 공통근를 구하라.
공통근을 구하라고 되어 있으니 공통근을 α로 둡니다.
그러면 α 은
α2+ 𝑎 α+ 5 = 0 ⋯ ( 1 )
α2+ α+ 5 𝑎 = 0 ⋯ ( 2 )
을 동시에 충족해야합니다.
(1) - (2)를 계산하면
( 𝑎 - 1 ) α+ 5 ( 1 - 𝑎 ) = 0
⇔( 𝑎 - 1 ) α- 5 ( 𝑎 - 1 ) = 0
⇔( 𝑎 - 1 ) ( α- 5 ) = 0
따라서, 𝑎 = 1 또는 α= 5 입니다.
(1) - (2)는
공통근의 특성 방정식 𝑚 𝑓( 𝑥 ) + 𝑛 𝑔 ( 𝑥 ) = 0 에서
𝑚 = 1, 𝑛 = - 1 로 되지만, 이것은
단순히 2 차 항을 지우기 위하여 뺄셈을 했을 뿐입니다.
𝑎 = 1 일 경우,
2 차 방정식은 𝑥2+ 𝑥 + 5 = 0 에서 일치하고
판별 식 𝐷 =12- 4 ⋅ 5 = - 19 < 0 에 따라 실수의 해는 존재하지 않습니다.
α= 5 일 경우
25 + 5 𝑎 + 5 = 0
이 때 𝑎 = - 6
따라서,
𝑎 = - 6 공동근은 5 가됩니다.
𝑎 = - 6 를 방정식에 되돌려 보면,
𝑥2- 6 𝑥 + 5 = 0⇔ ( 𝑥 - 1 ) ( 𝑥 - 5 ) = 0⇔ 𝑥 = 1,5
𝑥2+ 𝑥 - 30 = 0⇔ ( 𝑥 + 6 ) ( 𝑥 - 5 ) = 0⇔ 𝑥 = - 6,5
되어, 확실히 공통근이 5 이라는 것을 확인할 수 있습니다.